Área

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Área é a extensão ou superfície compreendida dentro de uma figura (de duas dimensões), expressada em unidades de medida denominadas superficiais. Para superfícies planas o conceito é intuitivo. Qualquer superfície plana de lados rectos pode triangularse e pode-se calcular a sua área como soma de triángulos.

Contudo, para calcular a área de superfícies curvas requer-se introduzir métodos de xeometría diferencial.

Para poder definir a área de uma superfície em geral, que é um conceito métrico, tem-se que definir um tensor métrico sobre a superfície em questão: quando a superfície está dentro de um espaço euclídeo, a superfície herda uma estrutura métrica natural induzida pela métrica euclídea.

Índice

1 História
2 Área de figuras planas
3 Área de superfícies curvas
- 3.1 Superfície de revolução
- 3.2 Cálculo geral de áreas
4 Unidades de medida de superfícies
- 4.1 Sistema métrico (SIM)
- 4.2 Sistema inglês de medidas
5 Referências
- 5.1 Bibliografía

História

A ideia de que a área é à medida que proporciona o tamanho da região encerrada numa figura xeométrica prove da antiguedad. No Antigo Egipto, trás a crescida anual de rio Nilo inundadando os campos, surge necessidade de calcular a área de cada parcela agrícola para restabelecer os seus limites; para liquidar isso, os egípcios inventaram a xeometría, segundo Heródoto.Heródoto Histórias, Livro II.

O modo de calcular a área de um polígono como a soma das áreas dos triángulos, é um método que foi proposto pela primeira vez pelo sábio grego Antifón para o ano 430 a. C. Achar a área de uma figura curva entranha mais dificultai. O método de esgotamento consiste em inscrever e circunscribir polígonos na figura xeométrica, aumentar o número de lados de supracitados polígonos e achar a área buscada. Com este sistema, que se conhece como método de exhaución de Eudoxo, conseguiu achar a fórmula para calcular a área de um círculo. Supracitado sistema foi empregue tempo depois por Arquímedes para resolver outros problemas similares: o problema da área assim como o cálculo aproximado do número π.

Área de figuras planas

Área de um triángulo

A área de um triángulo calcula-se mediante a seguinte fórmula:^[1]

$A =\frac{l\cdot h}{2}$

onde l é qualquer dos lados e h és la altura correspondente a esse lado.

Se o triángulo és rectángulo, a altura coincide com um dos catetos, e a fórmula ficaria da seguinte forma:

$A =\frac{a\cdot b}{2}$

onde a e b são os catetos.

Se o que conhecemos é o comprimento dos seus lados aplicamos a fórmula de Herón.

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

onde a, b , c são os valores dos comprimentos dos seus lados s = ½ (a + b + c) é o semiperímetro do triángulo.

Se o triángulo é equilátero, de lado a, a sua área está dada por

$A =\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}$

Áreas

Área de um cuadrilátero

O rectángulo é um paralelogramo cujos ângulos são todos de 90º; a área seria a multiplicação de duas dos seus lados contiguos a e b:

$A = a \cdot b \,$

O Rombo, cujos 4 lados são iguais, tem a sua área dada pelo semiproduto das suas duas diagonais:

$A = \frac{D\cdot d}{2}$

O quadrado é o polígono regular de quatro lados, é à vez um rectángulo e um rombo, pelo que a sua área pode ser calculada da mesma maneira que a destes dois. Em particular, dado que os seus lados são iguais, usa-se a fórmula:

$A = a \cdot a \, = a^2$

Os paralelogramos em geral têm a sua área dada pelo produto um dos seus lados e o seu altura respectiva:

$A = b\cdot h\,$

O trapecio (que tem dois lados paralelos entre sim e dois lados não paralelos) cuja área vem dada pela média aritmética dos seus lados paralelos multiplicado pela distância entre eles (altura):

$A = \frac{1}{2}h(B+d)$

O trapezoide ou cuadrilátero totalmente irregular que tem os seus quatro ângulos diferentes e lados de comprimentos desiguais. Neste caso a área pode-se obter mediante triangulación sendo:

$A = \frac{1}{2}\left(a_1a_2 \sin \alpha + b_1b_2 \sin \beta \right)$

Sendo:

$\alpha\,$ o ângulo compreendido entre os lados $a_1\,$ e $a_2\,$ .

$\beta\,$ o ângulo compreendido entre os lados $b_1\,$ e $b_2\,$ .

Área do círculo e a elipse

A área de um círculo, ou a delimitada por uma circunferencia, calcula-se mediante a seguinte expressão matemática:

$A = \pi \cdot r^2\,$

A área delimitada entre a gráfica de duas curvas pode calcular mediante a diferença entre as integrais de ambas as funções.

A área delimitada por uma elipse é similar e obtém-se como produto do semieixe maior pelo semieixe menor multiplicados por π:

$A = \pi \cdot a \cdot b$

Área delimitada entre duas funções

Uma forma para achar a área delimitada entre duas funções, é utilizando o cálculo integral:

$A(a,b) = \int^b_a | f(x) - g(x) | dx$

O resultado desta integral é a área compreendida entre as curvas: $f(x)\,$ y $g(x) [< f(x)]\,$ nele intervalo $[a,b]\,$ .

Exemplo

Se se quer achar a área delimitada entre o eixo x e a função f(x) = 4 - x^2 no intervalo [-2;2], utiliza-se a equação anterior, neste caso: g(x)=0 então avaliando a integral, obtém-se:

$A(-2,2) = \int^2_{-2} | 4 - x^2 - 0 | dx = 2 \int^2_0 4 - x^2 dx = 2 \left[ 8 - \left(\frac{2^3 - 0}{3}\right) \right] = \frac{32}{3}$

Pelo que se conclui que a área delimitada é $\frac{32}{3}$ ..

O volume encerrado entre duas funções também pode ser reduzido ao cálculo de uma integral, similar.

Área de superfícies curvas

A área de uma superfície curva é mais complexo e em geral supõe realizar algum tipo de idealización ou limite para medí-lo.

Quando a superfície é desenvolvíbel, como sucede com a área lateral de um cilindro ou de um cone a área da superfície pode calcular-se a partir da área desenvolvida que sempre é uma figura plana. Uma condição matemática necessária]] para que uma superfície seja desenvolvíbel é que a sua curvatura gaussiana seja nula.
Quando a superfície não é desenvolvíbel, o cálculo da superfície ou a fórmula analítica para encontrar supracitado valor é mais traballoso. Um exemplo de superfície não desenvolvíbel é a esfera já que a sua curvatura gaussiana coincide com o inverso do seu rádio ao cadrar, e portanto não é zero. Contudo a esfera é uma superfície de revolução.

Superfície de revolução

Uma superfície de revolução gerada por um trecho da curva y=2+com os x rotada arredor do eixo x.

Quando uma superfície curva pode ser gerada fazendo virar uma curva plana por volta de um eixo directriz, a superfície resultante chama-se superfície de revolução e a sua área pode ser calculada facilmente a partir do comprimento da curva xeratriz que ao virar conforma a superfície. Se y=f(x) é a equação que define um trecho de curva, ao virar esta curva por volta do eixo X gera-se uma superfície de revolução cuja área lateral vale:

$A_r(a,b) = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+\left(\frac{df(x)}{dx}\right)^2}\ dx$

Cálculo geral de áreas

Mediante a xeometría diferencial de superfícies ou mais geralmente a xeometría riemanniana pode calcular-se a área de qualquer superfície curva finita. Se a superfície vem dada pela função explícita z = f(x, y) então, dada uma região Ω contida numa superfície a sua área resultar ser:

$A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{1+ \left(\frac{\partial f}{\partial x} \right )^2+ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right )^2} dxdy$

De maneira um pouco mais geral se conhecemos a equação paramétrica da superfície em função de duas coordenadas quaisquer o e v então a área anterior pode escrever-se como:

$A(\Omega) = \iint_\Omega \sqrt{EG-F^2}\ dudv$

Onde E, F e G são as componentes do tensor métrico ou primeira forma fundamental da superfície nas coordenadas paramétricas u e v.

Unidades de medida de superfícies

Sistema métrico (SIM)

Múltiplos:

Quilómetro quadrado: 10⁶ metros quadrados
Hectare: 10⁴ metros quadrados
Área: 10² metros quadrados

Unidade básica:

metro quadrado: Unidade derivada do SIM

Submúltiplos:

centímetro quadrado: 10^-4 metros quadrados
barn: 10^-28 metros quadrados

Sistema inglês de medidas

polegada quadrada
pé quadrado
iarda quadrada
acre
milha quadrada
légua quadrada

Referências

↑ Spiegel y Abellanas, 1992, p.9

Bibliografía

Spiegel, Murray R., Abellanas, Lorenzo, McGraw-Hill Fórmulas y tablas de matemática aplicada. ISBN 84-7615-197-7.mhr:Кумдыкmwl:Ária

Trazido desde "http://ks312095.kimsufi.com../../../../articles/a/r/q/Arqueolox%C3%ADa.html"

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Categoria: Xeometría

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Área de figuras planas

Área de um triángulo

Área de um cuadrilátero

Área do círculo e a elipse

Área delimitada entre duas funções

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Superfície de revolução

Cálculo geral de áreas

Unidades de medida de superfícies

Sistema métrico (SIM)

Sistema inglês de medidas

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